失業保険について何も分からないので教えてください。
会社を辞めて実家(他県)に戻ろうと思うのですが、ハローワークへの求職の申し込みは実家の方のハローワークへすることはできるのでしょうか？

住んでいるところの管轄のハローワークになりますので、実家に引っ越して”住む”というかたち、または近々戻って住むのを前提とした申し込みは可能かと思いますが、一時的に戻るというかたちだと難しいかもしれません。
失業給付の資格には就職できる状態であって、働きたくても仕事が見つかっていないというのが前提にありますので、休養として実家に戻るかたちだと就職する気がないとみなされると思います。
取りあえず今お住まいの管轄のハローワークに電話一本して聞いてみてはどうでしょうか？

失業保険、求職活動のカウントの仕方について。ハローワークによって違う点あるかと思いますが、知っている範囲でおしえてください。
１、ハローワークで紹介を受け、翌日面接に行った場合、２回とカウントされますか？

２、『営業事務』の求人広告を見て電話を入れ仕事内容を聞いたところ、販売（レジ）もやらなくてはならないと聞き、希望でなかったので応募しませんでした。この場合はカウントできませんよね？

３、web応募数回（面接には至らず）、簿記検定はハローワークの方に求職活動になると確認はしました。ただネットで調べていると担当者によって変わるともあったのですが、実際そんなことってあるのでしょうか？

「あなたの管轄の職安」が決定することですから、直接質問されることでしょう。
ここで、何を回答しても「管轄の職安と異なる」といけませんから。

失業保険についてですが、先日、職安に失業保険の申請手続きをしに行きましたが就労日数が１日足りないと言われました。職員の話によると、賃金が１１日以上発生する日が１２か月以上必要だそうです。
会社に電話して、何とかなりませんか？と聞きましたが、一度提出してしまったものはどうにもならないと言われましたが、どうしても納得できません。何か良い方法はありませんか？

月に１１日以下で勤務していたわけですよね？

それにハローワークに日にちを改竄しても後で
コンピューターで判明します。

会社が言ったとおり一度提出した物はどんな
力があっても、覆す事はできません。

今回は諦めて、就活する事をお勧めします

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